TAREAS: noviembre 2009

5.1._DEFINICION DE TRANSFORMACION LINEAL Y SUS PROPIEDADES
Para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales emplearemos dos herramientas matemáticas que facilitar los cálculos: las matrices y los determinantes.
Las matrices y los determinantes nos permiten expresar de una manera clara, concisa y elegante la condición de compatibilidad de los sistemas de ecuaciones lineales (s.e.l.) - Teorema de Rouché-Fröbenius -.
Cuando estudiamos un s.e.l. debemos preguntarnos:
¿Tiene soluciones el sistema?, es decir, ¿es compatible?
Si tiene soluciones ¿cuántas y cuáles son?
Visto esto, estudiar un sistema es:
DISCUTIR = Averiguar si un s.e.l. tiene solución, y si tiene, ver si es única o no.
RESOLVER = Hallar la solución si es única, o las soluciones si son infinitas.
ESTUDIAR = DISCUTIR + RESOLVER
5.1 DEFINICIÓN TRANSFORMACIÓN LINEAL Y SUS PROPIEDADES
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K y T una función de V en W . T es una transformación lineal, si para cada par de vectores de u y v pertenecientes a V y para cada escalar k perteneciente a K, se satisface que:
1. T(u + v) = T(u) + T(v)
2. T(ku) = kT(u) donde k es un escalar.
Transformación lineal nula
Transformación lineal identidad
Homotecias
Con
Si k › 1 se denominan dilataciones
Si k < 1 se denominan contracciones
5.2 PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES
1. Si T es una transformación lineal, entonces
2. T(o)=0
Demostración:
Hipótesis: T es una transformación lineal
Esto es una combinación lineal!!
Extendiendo para n vectores: principio de superposición (e.g. Si una señal de entrada es una combinación lineal de sus señales de entradas, la respuesta del sistema es la misma combinación lineal de Respuestas a las señales individuales)

5.2._EJEMPLOS DE TRANSFORMACIONES LINEALES
Sea 0 ≤ θ < 2π un ángulo medido en radianes. La Transformación de T : R2 ―› R2 que gira sobre un vector ū = (u1, u2) es un ángulo θ, para obtener un vector T (ū) = (v1, v2).
Usando las funciones trigonométricas, tenemos que:
v1 = T (ū) • cos (α + θ) = ū • (cos α cos θ - sen α sen θ)
v2 = T (ū) • sen (α + θ) = ū • (sen α cos θ + cos α sen θ)
Como u1 = ū = cos α y u2 = ū = sen α se obtiene:
v1 = u1 cos θ – u2 sen θ
v2 = u2 cos θ – u1 sen θ
Por lo tanto la Transformación T : R2 ―› R2 debe estar definida tal que:
T (u1, u2) = (u1 cos θ – u2 sen θ, u2 cos θ – u1 sen θ).
Esta transformación se llama la rotación por un ángulo θ y es lineal, ya que:
T [(u1, u2) + γ(v1, v2)] = T (u1 + γv1, u2 + γv2)
= ((u1 + γv1) cos θ – (u2 + γv2) sen θ, (u2 + γv2) cos θ + (u1 + γv1) sen θ)
=(u1 cos θ - u2 sen θ, u2 cos θ + u1 sen θ)+(v1 cos θ - v2 sen θ, v2 cos θ + v1 sen θ)
= T (u1, u2) + γT (v1, v2)
Transformación de Reflexión:
La Transformación de T : R2 ―› R2 que a cada vector ū = (u1, u2) lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector T (ū) = (v1, v2).
En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde T queda definida como sigue:
T (u1, u2) = (u1, -u2)
Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:
T [(u1, u2) + γ(v1, v2)] = T (u1 + γv1, u2 + γv2) = (u1 + γv1, -u2 -γv2)
= (u1, -u2) + γ(v1, -v2) = T (u1, u2) + γT (v1, v2)

5.3._DEFINICION DE NUCLEO O KERNEL, E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL
Núcleo (kernel) e imagen
Si T: V \rarr W es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:
\operatorname{Ker}(T)=\{\,x\in V:T(x)=0_W\,\}

* Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

* El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:

1. 0_V \in Ker(T) dado que \operatorname {T}(0_V) = 0_W

2. Dados u , v \in Ker(T) : T(u+v) = T(u) + T(v) = 0_W + 0_W = 0_W \Rightarrow u + v \in Ker(T)

3. Dados u \in Ker(T) \and k \in \real : T(ku) = k T(u) \and T(ku) = k 0_W = 0_W \Rightarrow ku \in Ker(T)

* Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad (T) = dim (Ker (T))

\operatorname{Im}(T) = \left\{y/y \in W \and \exists x \in V / (x,y) \in T\right\}

* O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.

* La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.

* El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

Rg (T) = dim (Im(T))