TAREAS: 2009

5.1._DEFINICION DE TRANSFORMACION LINEAL Y SUS PROPIEDADES
Para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales emplearemos dos herramientas matemáticas que facilitar los cálculos: las matrices y los determinantes.
Las matrices y los determinantes nos permiten expresar de una manera clara, concisa y elegante la condición de compatibilidad de los sistemas de ecuaciones lineales (s.e.l.) - Teorema de Rouché-Fröbenius -.
Cuando estudiamos un s.e.l. debemos preguntarnos:
¿Tiene soluciones el sistema?, es decir, ¿es compatible?
Si tiene soluciones ¿cuántas y cuáles son?
Visto esto, estudiar un sistema es:
DISCUTIR = Averiguar si un s.e.l. tiene solución, y si tiene, ver si es única o no.
RESOLVER = Hallar la solución si es única, o las soluciones si son infinitas.
ESTUDIAR = DISCUTIR + RESOLVER
5.1 DEFINICIÓN TRANSFORMACIÓN LINEAL Y SUS PROPIEDADES
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K y T una función de V en W . T es una transformación lineal, si para cada par de vectores de u y v pertenecientes a V y para cada escalar k perteneciente a K, se satisface que:
1. T(u + v) = T(u) + T(v)
2. T(ku) = kT(u) donde k es un escalar.
Transformación lineal nula
Transformación lineal identidad
Homotecias
Con
Si k › 1 se denominan dilataciones
Si k < 1 se denominan contracciones
5.2 PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES
1. Si T es una transformación lineal, entonces
2. T(o)=0
Demostración:
Hipótesis: T es una transformación lineal
Esto es una combinación lineal!!
Extendiendo para n vectores: principio de superposición (e.g. Si una señal de entrada es una combinación lineal de sus señales de entradas, la respuesta del sistema es la misma combinación lineal de Respuestas a las señales individuales)

5.2._EJEMPLOS DE TRANSFORMACIONES LINEALES
Sea 0 ≤ θ < 2π un ángulo medido en radianes. La Transformación de T : R2 ―› R2 que gira sobre un vector ū = (u1, u2) es un ángulo θ, para obtener un vector T (ū) = (v1, v2).
Usando las funciones trigonométricas, tenemos que:
v1 = T (ū) • cos (α + θ) = ū • (cos α cos θ - sen α sen θ)
v2 = T (ū) • sen (α + θ) = ū • (sen α cos θ + cos α sen θ)
Como u1 = ū = cos α y u2 = ū = sen α se obtiene:
v1 = u1 cos θ – u2 sen θ
v2 = u2 cos θ – u1 sen θ
Por lo tanto la Transformación T : R2 ―› R2 debe estar definida tal que:
T (u1, u2) = (u1 cos θ – u2 sen θ, u2 cos θ – u1 sen θ).
Esta transformación se llama la rotación por un ángulo θ y es lineal, ya que:
T [(u1, u2) + γ(v1, v2)] = T (u1 + γv1, u2 + γv2)
= ((u1 + γv1) cos θ – (u2 + γv2) sen θ, (u2 + γv2) cos θ + (u1 + γv1) sen θ)
=(u1 cos θ - u2 sen θ, u2 cos θ + u1 sen θ)+(v1 cos θ - v2 sen θ, v2 cos θ + v1 sen θ)
= T (u1, u2) + γT (v1, v2)
Transformación de Reflexión:
La Transformación de T : R2 ―› R2 que a cada vector ū = (u1, u2) lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector T (ū) = (v1, v2).
En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde T queda definida como sigue:
T (u1, u2) = (u1, -u2)
Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:
T [(u1, u2) + γ(v1, v2)] = T (u1 + γv1, u2 + γv2) = (u1 + γv1, -u2 -γv2)
= (u1, -u2) + γ(v1, -v2) = T (u1, u2) + γT (v1, v2)

5.3._DEFINICION DE NUCLEO O KERNEL, E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL
Núcleo (kernel) e imagen
Si T: V \rarr W es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:
\operatorname{Ker}(T)=\{\,x\in V:T(x)=0_W\,\}

* Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

* El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:

1. 0_V \in Ker(T) dado que \operatorname {T}(0_V) = 0_W

2. Dados u , v \in Ker(T) : T(u+v) = T(u) + T(v) = 0_W + 0_W = 0_W \Rightarrow u + v \in Ker(T)

3. Dados u \in Ker(T) \and k \in \real : T(ku) = k T(u) \and T(ku) = k 0_W = 0_W \Rightarrow ku \in Ker(T)

* Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad (T) = dim (Ker (T))

\operatorname{Im}(T) = \left\{y/y \in W \and \exists x \in V / (x,y) \in T\right\}

* O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.

* La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.

* El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

Rg (T) = dim (Im(T))

Propiedades de los determinantes
De Wikillerato
Saltar a navegación, búsqueda
En lo que sigue consideraremos como una matriz cuadrada de orden y una fila y una columna cualesquiera de esa matriz. El determinante de una matriz lo podemos ver como una función de sus filas

o de sus columnas

Las propiedades mas importantes de los determinantes son:

1. El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su matriz traspuesta.

2. Si los elementos de una línea o columna de una matriz se multiplican por un número, el determinante de la matriz queda multiplicado por dicho numero:

3. Si todas las lineas de una matriz de orden están multiplicadas por un mismo número el determinante de la matriz queda multiplicado por

5. El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de ambas matrices:

6. Si en una matriz cuadrada se permutan dos lineas, su determinante cambia de signo:

7. Si una línea de una matriz cuadrada es combinacion lineal de las lineas restantes, es decir, es el resultado de sumar los elementos de otras lineas multiplicadas por números reales, su determinante es cero. Consecuencia inmediata de esta propiedad es que si una matriz tiene una línea de ceros su determinante es cero.

8. Si a los elementos de una línea de una matriz cuadrada se les suma una combinacion lineal de las líneas restantes, su determinante no varia.

El metodo de Chío consiste en hacer cero el mayor número posible de elementos de una línea utilizando las propiedad anterior de los determinantes y posteriormente desarrollar el determinante por los adjuntos de los elementos de esa linea en la que hemos hecho ceros.

1.At= A
El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.

2. A=0 Si:
Posee dos líneas iguales

Todos los elementos de una línea son nulos.

Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.

F3 = F1 + F2
3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal..

4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.

5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.

6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.

7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

8. A·B =A·B
El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.